Зотов С.А., Макаров Е.С., Нечаев Ю.Б.

МЕТОДЫ  СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ  В ЗАДАЧАХ

РАДИОПЕЛЕНГАЦИИ

 

В задачах радиопеленгации в ряде случаев необходимо путём обработки исследуемого сигнала на конечном интервале наблюдения определить количество источников излучения (или переизлучения), образующих принятый и исследуемый сигнал и оценить угловые координаты источников. При этом несущие частоты источников одинаковы. К подобным случаям относятся, например, преднамеренные помехи, создаваемые противником из разных точек пространства работающим радиоэлектронным средством (РЭС) или естественные помехи, обусловленные особенностями распространения сигналов в околоземном пространстве и водной среде, приводящими к многолучевости в точке приема. Основной метод борьбы с такими помехами в радиоэлектронных системах с антенными решетками заключается в формировании нулей (провалов) диаграммы направленности в направлениях на постановщики помех. В стационарной помеховой обстановке задача помехозащиты решается применением адаптивных антенных решеток. В условиях нестационарной помеховой обстановки указанный метод борьбы может быть реализован, если предварительно определены число и угловые координаты постановщиков помех. При этом наиболее важными для практики являются случаи, когда параметры указанных источников близки, и традиционные методы обработки и измерения не в состоянии их разрешить и измерить в силу ограничения их разрешающей способности величиной, обратной длине раскрыва, а также эффекта маскирования спектральных линий слабых сигналов боковыми лепестками спектральных линий более сильных сигналов.      

Отличительной особенностью процедуры оценивания числа и угловых координат постановщиков помех является большое отношение мощности активных помех к мощности внутреннего шума на выходе антенной системы, что создает благоприятные условия для пеленгации ИИ с применением «современных методов спектрального анализа» [1,2,17,26,34]. Основное достоинство последних состоит в том, что они позволяют определять число и угловые координаты ИИ, не прибегая к электрическому или механическому перемещению диаграммы направленности антенны и используя лишь алгоритмические способы обработки сигналов, принятых элементами антенной решетки. В результате наблюдение за координатами ИИ, находящихся в зоне наблюдения, можно вести в режиме реального времени.

Постановка задачи

Пусть M сигналов распространяются в среде со скоростью  в направлениях  (рис.1.1). Суммарный сигнал воспринимается антенной решёткой из N элементов, каждый из которых регистрирует электромагнитное поле по предположению с идеальной точностью. Здесь и далее, за исключением случаев, где это будет оговариваться особо, будем считать, что сигнал  является узкополосным в пространственно-временном смысле. Это означает, что интервал корреляции комплексной огибающей сигнала (для сигналов без внутриимпульсной модуляции – длительность импульса) существенно превышает временной интервал между моментами прихода сигнала в наиболее разнесенные точки апертуры приемной антенны. Данное допущение позволяет разделить пространственно-временную обработку сигнала на пространственную и временную, выполняемые в произвольном порядке. Тогда сигнал, измеряемый в пространственной точке  расположения n-го элемента, определяется формулой

                   (1)

где - аддитивный пространственно-белый шум, обусловленный возмущениями в среде распространения, а также собственными шумами элемента, а - скалярное произведение.

 

 

 

Рис. 1.1. Вектор  определяет положение n-го элемента относительно начала координат. Пока­зана плоская волна, распространяющаяся к антенной решетке в направлении .

 

Предполагая ИИ находящимся в дальней зоне излучения и выбирая начало координат совпадающим с крайним элементом линейной эквидистантной АР (ЛЭАР), получим, что

,

где  - угол между направлением распространения сигнала m – го ИИ и нормалью к АР,  - расстояние между антенными элементами (АЭ),  - порядковый номер АЭ.

В работе [34] построена единая теория адаптивных к данным методов непрерывного анализа, при использовании которых пеленги на ИИ определяются по максимумам соответствующих выходных функций. К этой группе должны быть отнесены: метод максимальной энтропии (ММЭ) Берга [7], метод Кейпона [8], метод « теплового шума» [3], метод Борджотти-Лагунаса [34], метод MUSIC[1,2].

 

Неадаптивный формирователь луча

Кейпон

«тепловой шум»

Борджотти-Лагунас

ММЭ

 

Здесь , а  - максимально правдоподобная оценка пространственной корреляционной матрицы выходных сигналов элементов АР, H - символ транспонирования и комплексного сопряжения.  представляет собой вектор, характеризующий идеальную плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора визирования : ,  - вектор отсчетов сигнала.

Таким образом, измерение направления на излучающий источник при помощи антенной решетки математически эквивалентно вычислению простран­ственного спектра и определению положения локальных максимумов этого спектра.

Метод MUSIC и его модификации

Методы EV и MUSIC тоже являются методами последовательного обзора, но они обладают существенным отличием от алгоритмов, описанных выше. Эти методы основаны на разложе­нии  пространственной  корреляционной  матрицы по собственным    векторам    и    собственным    значениям [1,2].

Метод MUSIC основан на анализе спектра вида

                         (2)

В методе EV используется оценка вида

                      (3)

Здесь    - собственные векторы корреляционной матрицы R.

В работе [6] показано преимущество методов EV и MUSIC по сравнению с одним из методов на основе линейного предсказания, модифицированным ковариационным, который становится полностью неустойчивым при отношении сигнал-шум 14 дБ.  В [1] же указано, что метод EV порождает меньше ложных пиков, чем метод MUSIC.

Алгоритм  MUSIC обладает, как и все последовательные алгоритмы, тем недостатком, что он требует поиска максимумов пеленгационной характеристики, что в случае высокоинтенсивных уединенных источников весьма «дорого» с вычислительной точки зрения. Одним из путей выхода из этого затруднения является применение многошагового алгоритма поиска максимумов [10,11]. В этих работах предлагается проводить грубый поиск максимумов пеленгационной характеристики метода MUSIC с дальнейшим уточнением координат этих максимумов, уменьшая шаг сканирования.

В методе ROOT-MUSIC для нахождения угловых координат ИИ также используется ортогональность собственных сигнальных и шумовых векторов.  Однако он позволяет проводить параллельное пеленгование, то есть в рамках одной вычислительной процедуры находятся углы прихода всех ИИ, находящихся в поле наблюдения.

Представим скалярное произведение собственных векторов и управляющего вектора в виде полинома [17,24]

                                 (4)

где k=M+1,….,N,  а  , n – номер полинома.

В (4) V – один из собственных векторов шумового подпространства, i – номер компоненты n-го вектора.

Перепишем выходную функцию метода MUSIC

в виде  , где  — элементы матрицы . Сделав замену l=n-m, получим

,                                  (5)

где , то есть  - сумма элементов матрицы , находящихся на n-й диагонали. Корни полинома появляются парами z и 1/z. Один из корней лежит вне единичной окружности, другой внутри нее, однако фаза их одинакова, поэтому оба можно с одинаковым успехом использовать для определения угла прихода сигнала. В отсутствие шума все корни будут лежать на единичной окружности.

Так как численные значения корней полинома находятся в рамках единой вычислительной процедуры, то метод ROOT - MUSIC относится к методам параллельного поиска. После нахождения корней  определяются угловые координаты ИИ по следующей формуле:

                                   (6)

Формулы для нахождения корней полинома по его коэффициентам существуют только для . При большем N необходимо применять численные методы, что вызывает определенные трудности.

Метод MUSIC предполагает некоррелированность сигналов источников между собой, что в реальных условиях, ввиду многолучевости, выполняется далеко не всегда. Коррелирующие между собой лучи уменьшают ранг корреляционной матрицы, так что число шумовых собственных значений превышает (N-M).

В методе Smooth-MUSIC N элементов решетки разделяют на L перекрывающихся подрешеток, каждая из P элементов. Например, 1-я подрешетка включает в себя элементы с первого по P-й, 2-я — со 2-го по P+1 и т.д. Такое разбиение называется процедурой декорреляции Прони. Таким образом, L=N-P+1. Затем корреляционные матрицы, вычисленные для каждой из подрешеток, усредняются. Этот метод позволяет пеленговать до L-1 сигналов.

Метод ESPRIT

Этот метод [12,37,49] базируется на том факте, что вектор, определяющий направление прихода m-го сигнала, имеет один и тот же сдвиг на каждом элементе ЛЭАР. Используя выражение , представим NxM матрицу, составленную из сигнальных векторов в виде:

                         

Определим две (N-1)xM матрицы  и , состоящие, соответственно, из первых (N-1)  строк матрицы  и последних (N-1) строк матрицы . Заметим, что  и члены диагональной матрицы

                                     

определяют направления прихода сигналов. Ввиду того, что сигнальные векторы в матрице  охватывают то же подпространство, что и сигнальные собственные векторы корреляционной матрицы R, существует матрица перехода между базисами, определяемыми этими векторами С, такая, что .

Определим две (N-1)xM матрицы  и , состоящие, соответственно, из первых (N-1)  строк матрицы  и последних (N-1) строк матрицы . Для них из (5) вытекают следующие выражения:

                                     

Запишем:

.

Обозначив

,

получим, что

, где .                          (7)

Последнее выражение означает, что Ф – это диагональная матрица собственных значений . Таким образом, алгоритм ESPRIT можно описать следующими шагами:

1.        Оценить корреляционную матрицу R.

2.        Найти ее собственные векторы.

3.        Определить сигнальные собственные векторы, соответствующие М наибольшим собственным числам.

4.        Определить матрицу , используя уравнение (7)

5.        Найти собственные значения матрицы .

6.        Определить углы прихода, используя выражение (6).

Метод Matrix Pencil

Использование во всех вышеописанных алгоритмах оценки корреляционной матрицы, а также последующее ее обращение, либо разложение по собственным векторам, является вычислительно сложной процедурой, заметно влияющей на скорость обработки. Это обусловило разработку «нестатистического» метода, известного как Matrix Pencil [26].

Определим две  матрицы  и  как

    

Здесь L — параметр, который должен удовлетворять следующим условиям:

, N – четное,

, N – нечетное.                                                       (8)

Эти матрицы можно переписать в виде

                                            

где матрица Ф та же, что и в методе ESPRIT – диагональная  матрица, состоящая из величин  определяющих направления прихода сигналов, А – диагональная  матрица комплексных амплитуд сигналов, а  и  определяются следующим образом:

              

                                .

В отсутствие шума, при выборе параметра L, удовлетворяющего условиям (8), ранги матриц  и  равны М. Для случайного  ранг пучка матриц  также равен М. Если же , ранг пучка  уменьшается на единицу. Это означает, что мы можем найти величины  как обобщенные собственные значения матричной пары :

                                          (9)

Таким образом, шаги алгоритма Matrix Pencil:

1.        Учитывая известные N и M, выбрать L, руководствуясь условиями (8)

2.        Сформировать матрицы  и

3.        Найти  как обобщенные собственные значения матричной пары

4.        Определить направления прихода сигналов, пользуясь выражениями (6)

Заметим, что нахождение обобщенных собственных значений матричной пары  эквивалентно нахождению собственных значений матрицы .

Подобие алгоритмов ESPRIT и Matrix Pencil очевидно. Оба они оценивают диагональную матрицу, чьи элементы связаны с искомыми значениями. Главное отличие состоит в том, что ESPRIT работает с сигнальным подпространством, определенным из корреляционной матрицы, в то время, как Matrix Pencil работает с данными напрямую. Это дает существенную экономию в числе операций. Минусом  же Matrix Pencil является то, что число сигналов, направления прихода которых можно определить с его помощью равно  для четного N, и  для нечетного N.

Оценивание числа источников излучения

Исследование пространственно-временных методов раздельного оценивания угловых координат точечных источников излучения, находящихся в одном элементе разрешения по критерию Рэлея, показало актуальность разработки процедур оценивания их числа. При синтезе алгоритмов оценивания угловых координат, описанных выше, в большинстве случаев явно или неявно полагают, что число источников излучения известно. Если априорно выбранное число источников меньше истинного их числа, то получаемые оценки угловых координат могут не иметь ничего общего с их истинными значениями. Если выбранное априорное число источников больше истинного, то задача получения раздельных оценок угловых координат становится плохо обусловленной, и, как следствие, получаемые алгоритмы численно неустойчивы.

Известные процедуры оценивания числа источников сигналов заключаются либо в исследовании приращений значений максимума функции правдоподобия при увеличении числа источников [38], либо в исследовании собственных значений выборочной корреляционной матрицы пространственно-временной выборки [1,25]. Оба этих подхода обладают своими минусами. К недостатку первых можно отнести необходимость исследования всех возможных гипотез. В то же время вычислительная сложность процедур оценивания угловых координат быстро растет с увеличением М, а их оценки должны использоваться при вычислении значения максимума функции правдоподобия. При использовании же методов второй группы приходится вычислять собственные значения для матрицы, размер которой определяется максимальным М, что тоже связано с громоздкими вычислениями.

Наиболее известными на данный момент являются критерии Акаике (AIC) и критерий минимальной длины описания (MDL) [1,2,33], применявшиеся в спектральном анализе для определения порядка АР – модели. Согласно этим критериям, оценкой числа источников сигналов является величина d, минимизирующая функцию AIC(d) или функцию MDL(d), которые задаются формулами

 

где К — объем выборки, — собственное число корреляционной матрицы,

.

Истинное число сигналов это точка, в которой эти две функции достигаю своих минимумов.

   В работе [18] приводятся экспериментальные зависимости вероятности переоценки числа источников (вероятности ложного разрешения), при использовании методов AIC и MDL, полученные методом стохастического моделирования. Также в этой работе получены уравнения, позволяющие вычислить пороги для заданной вероятности переоценки числа источников при любом числе выборок L, числе элементов АР N и числе источников М.

Оценка числа источников сигналов, воздействующих на многоканальную приемную систему с антенной решеткой, может быть проведена по числу собственных значений выборочной КМ, превышающих заданный порог [33]. Для выбора порога сравнения в такой процедуре и оценки ее эффективности необходимо располагать статистическими характеристиками собственных значений выборочной КМ, а именно, вероятностями превышения порога минимальным «сигнальным» и максимальным «шумовым» собственными значениями. При гауссовской статистике помеховых сигналов и собственных шумов приемных каналов и достаточно большом объеме выборки закон распределения минимального «сигнального» собственного значения, как это следует из теории возмущений собственных значений [21], при не слишком ограничительных предположениях близок к нормальному. Однако распределение максимального шумового собственного числа отличается от гауссовского [19]. В работе [20] найден аналитический вид функции распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума антенной решетки в отсутствие сигналов, которое может быть представлено в виде детерминанта матрицы, элементы которой представляют собой отношение гамма-функций:

,                (10)

где  - гамма-функция,  – неполная гамма-функция, i,j=1,2,...,N.

   Эта статистика представляет особый интерес на первом этапе процедуры оценки числа сигналов, когда максимальное собственное число  сравнивается с порогом и принимается решение об отсутствии или присутствии внешних сигналов. Также в [62] показано, что для функции распределения  максимального шумового собственного числа  в отсутствие внешних сигналов и для функции распределения  вероятности максимального шумового собственного числа  в присутствии М внешних источников выполняется следующее неравенство

Таким образом, функция распределения  максимального шумового собственного числа оценки КМ сигналов АР размерности N-M в отсутствие внешних источников является некоторой оценкой функции распределения  максимального шумового собственного числа  оценки КМ сигналов АР размерности N в присутствии M внешних источников сигнала.

В работе [21] получена связь между асимптотическим выражением  для интегрального распределения  максимального шумового собственного числа  оценки КМ сигналов АР при наличии одного мощного источника и интегральной функцией распределения  максимального шумового собственного числа  оценки КМ сигналов АР размерности N в отсутствие внешних источников:

.                (11)

Используя (10) и (11), получим асимптотическое выражение для интегральной функции распределения  максимального шумового собственного числа при наличии одного мощного источника:

, i,j=1,2,…N-1.

Сравнительный анализ методов спектрального

оценивания

Для сравнительной оценки методов спектрального оценивания обычно используются три показателя. Первый из них - разрешающая способность, т. е. способность обнаруживать наличие двух источников равной мощности, расположенных в близких направлениях. Два источника разрешены, если в спектре присутствуют два различных максимума, и не разрешены, если имеется только один максимум. Необходимо отметить, что положения разрешаемых спектральных максимумов не обязательно должны соответствовать действительным направлениям на источники излучения. Поэтому вторым показателем является степень смещения оценки. Когда наблюдается один источник излучения, смещение (т.е. ошибка в определении положения спектрального максимума) обычно равно нулю (несмещённая оценка). Однако в случае двух и более источников смещение оценки, как правило, отлично от нуля. Указанные два показателя могут оказаться противоречивыми: хорошее разрешение зачастую достигается за счёт появления смещения оценки. Третий показатель – вариабельность оценки, т.е. область значений угловых координат источника, в пределах которой положение спектрального максимума может меняться.

   Также важными факторами при выборе метода спектрального анализа являются его чувствительность к различиям амплитудных и фазовых характеристик отдельных каналов приема АР, уровню собственных шумов, количеству и способу расположения АЭ, объему выборки, используемой для определения корреляционной матрицы и вычислительная сложность реализуемого алгоритма.

   Вопросу сравнительного анализа методов пеленгации со сверхразрешением посвящено достаточно большое число исследований [1,2,5,6,15 - 17,22,23,27,34,36,40]. Однако, необходимо отметить, что в каждой из работ одновременно сравниваются лишь несколько методов и то по отдельным показателям. Полученные частные результаты, зачастую противоречащие друг другу, не позволяют дать законченную оценку существующих методов, хотя попытки выработать более или менее общий подход к этой задаче проводились, например, в [9,22,27]. В [9] на основе подхода, заключающегося в сравнении коэффициентов  эффективности использования энергии сигнала [32] показано, что по сравнению с потенциально достижимым уровнем эффективное отношение сигнал-помеха в методе MUSIC снижается в пределе на 3 дБ. Это соотношение справедливо для больших уровней помехи, в случае низких уровней потери не наблюдаются. Наиболее же выгодными в этом плане являются алгоритмы Берга, Кейпона, Борджотти-Лагунаса, отношения Рэлея и теплового шума. Однако никаких соображений по поводу выявления наилучшего из этих методов в [9] не приводится.

   В [27] в рамках адаптивного Байесова подхода синтезированы алгоритмы пеленгации источников интенсивного излучения с произвольным законом модуляции во времени. При этом адаптивными статистиками для решения задачи пеленгации оказались статистики Кейпона и отношения Рэлея. Дополнив эти два алгоритма алгоритмом теплового шума в [4,27] автор приводит аналитические выражения для характеристик этих методов, показывающие, что при выполнении условий высокой точности измерений и длительного накопления данных наилучшими точностными показателями обладает алгоритм отношения Рэлея, наихудшими - метод Кейпона, а алгоритм теплового шума занимает промежуточное положение.При конечной же длине выборки, и наличии случайных амплитудно-фазовых ошибок в каналах приема методы Борджотти-Лагунаса, «теплового шума», максимальной энтропии могут терять свое преимущество над алгоритмом Кейпона, что показано в работах [28,30].

Обобщение нелинейных методов спектрального анализа на двумерный случай приводит к достаточно сложным в вычислительном отношении алгоритмам [13].

Установлено [35], что методы MUSIC и ESPRIT мало чувствительны к точности аппроксимации фоновых шумов и обеспечивают примерно одинаковое угловое разрешение. Имеются данные, обосновывающие положение о большей устойчивости алгоритма MUSIC к отклонениям положения отдельных АЭ от своего номинального положения [29].

Для повышения быстродействия и численной устойчивости процедур, использующих обращение корреляционной матрицы, в [39] предлагается использовать схему ортогонализации Грама-Шмидта, позволяющую избежать обращения КМ в явном виде. Этот способ позволяет получить матрицу фильтра-ортогонализатора, которая, согласно [39], связана с оценкой обратной КМ. Сравнимой численной устойчивостью обладают и другие методы ортогонализации: отражения Хаусхолдера [14], вращения Гивенса [14], применение адаптивных решетчатых фильтров (АРФ) [22,31]. Причем отмечается возможность использования обращающих решетчатых фильтров для оценки числа источников сигнала без каких-либо существенных изменений структуры фильтра, что сводит к минимуму аппаратурные затраты, позволяя совместить в одном устройстве как задачу пеленгации, так и задачу оценивания числа ИИ [25]. Хорошая сводка этих алгоритмов, включающая сравнительный анализ их численной устойчивости, вычислительной сложности, возможностей распараллеливания операций, дана в [40].

Выводы

1.              Наиболее популярными техниками  в настоящее время являются MUSIC и ESPRIT;

2.              Среди непараметрических методов непрерывного анализа (метод максимальной энтропии (ММЭ) Берга, метод Кейпона, метод « теплового шума», метод Борджотти-Лагунаса) метод Кейпона обладает самой низкой разрешающей способностью. Однако, при конечной длине выборки, и наличии случайных амплитудно-фазовых ошибок в каналах приема методы Борджотти-Лагунаса, «теплового шума», максимальной энтропии могут терять свое преимущество над алгоритмом Кейпона, что показано в работах [28,30];

3.              В условиях, когда число элементов АР невелико (например, в силу массогабаритных ограничений), применение метода Matrix Pencil нецелесообразно, так как число ИИ, которые можно разрешить с его помощью, меньше, чем с помощью других методов. При применении же малобазовых пеленгаторов преимущество Matrix Pencil в вычислительном отношении оказывается менее значимым фактором;

4.              Малоизученным является применение вышеизложенных методов в плоских АР;

5.              Несмотря на множество работ, посвященных сравнительному анализу сверхразрешающих алгоритмов, необходимо отметить, что в каждой из работ одновременно сравниваются лишь несколько методов и то по отдельным показателям. Полученные частные результаты, зачастую противоречащие друг другу, не позволяют дать законченную оценку существующих методов. Поэтому проблема сравнительного анализа методов сверхразрешения остается актуальной.

 

Литература

1. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения // Пер. с англ. - М.: Мир,1990.

2.Кей С.М., Марпл-мл. С.Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор.// ТИИЭР, 1981, т.69, №11.

3.Гейбриел У.Ф. Спектральный анализ и методы сверхразрешения с использованием адаптивных решеток.// ТИИЭР, 1980, т.68, № 6.

4. Черемисин О.П. Эффективность адаптивных методов пеленгации помех. // Радиотехника и электроника, 1989, вып. 9

5.Джонсон Д.Х. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения.// ТИИЭР, 1982, т.70, №9

 6.Добырн В.В., Немов А.В. Эффективность применения сверхразрешающих спектральных оценок в бортовых угломерных фазированных антенных решетках.// Радиотехника, 1999, №9.

7. Джейнс Э.Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии. // ТИИЭР,1982, №9, с.33-51

8. Кейпон Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким разрешением. ТИИЭР, 1969, №8

9. Аджемов С.С. и др. Исследование алгоритмов сверхразрешения в адаптивных антенных решетках. // Радиотехника,2000,№11

10. Аджемов С.С. и др. Модифицированный алгоритм пространственного разрешения источников радиоизлучения SDS-MUSIC, работающий при многолучевом распространении сигналов. // Радиотехника,2003, №11, с.80-82

11. Аджемов С.С. и др. Многошаговый алгоритм пассивного пространственного разрешения источников радиоизлучения. Наукоемкие технологии, 2003, №3

12. Полрадж А., Рой Р., Кайлатх Т. Оценивание параметров сигнала методом поворота подпространств. // ТИИЭР, 1986, т.74, №7

13. Волочков Е.Б., Гармаш В.Н. Сверхразрешение по угловым координатам когерентных источников при помощи плоской антенной решетки на основе нелинейных методов спектрального анализа. // Радиотехника и электроника, 1992, №8

14. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984

15. Гершман А.Б., Ермолаев А.Т., Флаксман А.Г. Адаптивное разрешение некоррелированных источников по координате. // Изв. вузов. Радиофизика,1988, №8

16. Гершман А.Б., Ермолаев А.Т., Флаксман А.Г. Анализ сверхразрешения некоррелированных источников излучения в адаптивных антенных решетках. // Изв. вузов. Радиофизика,1988, №11.

17. Дрогалин В.В. и др. Алгоритмы оценивания угловых координат источников излучений, основанные на методах спектрального анализа. Успехи современной радиоэлектроники, 1998, №2

18. Ермолаев В.Т., Мальцев А.А., Родюшкин К.В. Статистические характеристики критериев AIC и MDL в задаче оценки числа источников многомерных сигналов в случае короткой выборки. // Изв. вузов. Радиофизика,2001, №12

19. Мороз А.В., Есакова Н.Г. Анализ собственных значений выборочной корреляционной матрицы процесса из двух комплексных экспонент и аддитивного белого гауссовского шума. // Радиотехника и электроника, 1990, №5

20. Ермолаев В.Т., Родюшкин К.В. Функция распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума элементов антенной решетки. // Изв. вузов. Радиофизика,1999, №5

21. Родюшкин К.В. Анализ статистических свойств максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы антенной решетки при наличии сигнала. // Изв. вузов. Радиофизика,2001, №1-2

22. Леховицкий Д.И. и др. Разновидности сверхразрешающих анализаторов пространственно-временного спектра случайных сигналов на основе обеляющих адаптивных решетчатых фильтров. Антенны, 2000, №2

23. Доросинский Л.Г. Выбор метода совместного измерения угловых координат нескольких источников излучения. // Радиотехника, 1987, №11

24. Bhaskar, D., Rao and K.V.S. Hari, Perfomance analysis of ROOT – MUSIC, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989, vol. ASSP – 37, Dec, pp. 1939-1949

25. Кузин С.С. Оценка числа источников помех в обращающем решетчатом фильтре. // Радиотехника,1994,№1

26. Hua Y., Sarkar T. Matrix Pencil method for estimating parameters of exponentially dumped/undumped sinusoids in noise, IEEE Trans. on Acoust., Speech., Signal Process, 1990, vol.38, pp. 814-824

27. Черемисин О.П. Адаптивная пеленгация источников интенсивных сигналов в многоканальных системах. // Радиотехника и электроника,1992,  №12

28. Леховицкий и др. Статистический анализ сверхразрешающих методов пеленгации источников шумовых излучений в АР при конечном объеме обучающей выборки. Антенны, 2000, №2

29. Stoica P., Nehorai Aryl, Performance comparison of subspace rotation and MUSIC methods for direction estimation, IEEE Trans. on Acoust., Speech., Signal Process, 1991, vol.39, no. 2

30. Хачатуров В.Р., Федоркин Ю.А., Коновальчик А.С. Влияние случайных фазовых ошибок приемных каналов антенной решетки на качество разрешения источников внешнего излучения. Антенны, 2000, №2

31. Леховицкий Д.И., Милованов С.Б., Раков И.Д., Свердлов Б.Г. Универсальные адаптивные решетчатые фильтры. Адаптация при заданном корне из оценочной корреляционной матрицы. // Изв. вузов. Радиофизика,1992, №11-12

32. Ширман Я.Д. Докторская диссертация. – ВИРТА, 1959

33. Reddi S.S. Multiple source location – a digital approach. IEEE Trans. Aerospace and Electron Syst., 1979, vol.15, no.1

34. Мюнье Ж., Делиль Ж.Ю. Пространственный анализ в пассивных локационных системах с помощью адаптивных методов. // ТИИЭР,1987,т.75,№11.

35. Bhaskar, D. Rao and Hari, K.V.S., Weighted subspace methods and spatial smoothing: analysis and comparison, IEEE Transaction. Signal Process, 1993, vol.41, no. 2

36. Ратынский М.В. Анализ характеристик алгоритмов пеленгации со сверхразрешением. // Радиотехника,1992,№10-11

37. Roy R., Kailath T. ESPRIT – estimation of signal parameters via rotational invariance techniques. “IEEE Trans. Acoust. , Speech and Signal Process.” 1989, Vol. 37, No. 7

38. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1986

39. Ратынский М.В., Черемисин О.П., Кузин С.С. и др. Эффективные алгоритмы обработки стохастических сигналов на основе схемы ортогонализации Грама-Шмидта. // Радиотехника и электроника, 1995, №1

40. Ратынский М.В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. 2003г.